Urodził się 10 kwietnia 1915 w Zabłudowie. Tu ukończył szkołę podstawową.
Następnie w 1937 roku ukończył Polskie Prywatne Gimnazjum Koedukacyjne im. Henryka Sienkiewicza w Białymstoku, w 1938 roku ukończył Dywizyjny Kurs Podchorążych Rezerwy 29 Dywizji Piechoty w Grodnie, a w 1950 roku zaoczny kurs nauczycieli średnich szkół zawodowych Centralnego Urzędu Szkolenia Zawodowego.
W 1939 roku został praktykantem w Zarządzie Miejskim w Zabłudowie. W 1939 roku jest także żołnierzem wojny obronnej w 29 Dywizjonu Piechoty, obrońca Lwowa. 29 września 1939 roku dostał się do niewoli sowieckiej, z której zbiegł. W grudniu 1939 roku powrócił do Zabłudowa.
W latach 1940–1941 został technikiem budowlanym w rejonowym gospodarstwie komunalnym w Zabłudowie. W 1941 roku został nauczycielem i kierownikiem szkoły w Nowosadach k. Zabłudowa, a w latach 1941–1944 kancelistą w urzędzie gm. w Zabłudowie. Od 1942 do 1944 roku przy wsparciu żony i siostry nauczyciel tajnego nauczania w Zabłudowie.
W latach 1942–1943 żołnierz Narodowych Sił Zbrojnych, w 1944 roku żołnierz Armii Krajowej pod pseudonimem "Wrzos", uczestnik operacji „Burza”. Dosłużył się stopnia podporucznika. 17 października 1945 roku został aresztowany, osadzony w więzieniu w Białymstoku, a 16 listopada 1945 roku skazany przez Wojskowy Sąd Garnizonowy w Białymstoku na 5 lat pozbawienia wolności, objęty amnestią, 13 stycznia 1946 roku zwolniony.
Od 1945 roku należy do Związku Nauczycielstwa Polskiego. W latach 1957–1959 jest już prezesem zarządu ZNP Oddziału Olecko.
W latach 1944–1945 sekretarz Miejskiej Rady Narodowej w Zabłudowie, w latach 1944–1945 i 1946–1950 nauczyciel matematyki w Szkole Podstawowej tamże, w latach 1948–1952 dyrektor Szkoły Metalowej/Publicznej Średniej Szkoły Zawodowej/Państwowej Średniej Szkoły Zawodowej tamże.
W latach 1952–1974 nauczyciel matematyki w Zasadniczej Szkole Metalowo-Budowlanej/ZSZ/Zespole Szkół Technicznych w Olecku. Od 1974 roku na emeryturze.
Uprawnienia kombatanckie otrzymał dopiero w 1993 roku. Po 47 latach otrzymał pierwszą polską „Odznakę Weterana Walk o Niepodległość„ na wniosek Kierownika Urzędu ds. Kombatantów i Osób Represjonowanych. Wcześniej odznaczony został wielokrotnie przez Rząd Polski na Emigracji Medalem Wojska, Krzyżem Armii Krajowej i Krzyżem Kampanii Wrześniowej.
Honorowy członek Towarzystwa Przyjaciół Ziemi Zabłudowskiej.
17 sierpnia 1997 roku Rada Miejska w Zabłudowie nadała Panu Antoniemu Maksimowiczowi Honorowe Obywatelstwo Miasta Zabłudowa.
W 2005 roku uhonorowany medalem 25-lecia NSZZ „Solidarność”.
Zmarł 18 czerwca 2006 roku w Olecku.